Всего: 28 1–20 | 21–28
Добавить в вариант
где 
— целая часть числа x, 
— дробная часть числа x, то есть 
а 
Рассмотрим уравнение 
то 
отсюда 
то 
то решения исходного уравнения 
где 
С другой стороны, 
а значит 
—
удовлетворяющие исходному уравнению.
На доске было записано 15 различных нецелых чисел. Для каждого числа x из этих пятнадцати Вася выписал себе в тетрадку отдельно [x] и 
Какое наименьшее количество различных чисел могло получиться у Васи? Символы [x] и {x} обозначают соответственно целую и дробную часть числа x.
вариантов исходных чисел.
Получается 16 различных исходных чисел, любое из них можно выкинуть.На доске было записано 20 различных нецелых чисел. Для каждого числа x из этих пятнадцати Вася выписал себе в тетрадку отдельно [x] и Какое наименьшее количество различных чисел могло получиться у Васи? Символы [x] и {x} обозначают соответственно целую и дробную часть числа x.
вариантов исходных чисел.
где 
— целая часть числа x, {x} — дробная часть числа x, то есть 
Рассмотрим уравнение 
то 
отсюда 
то 
отсюда 
где 
— целая часть числа t.
и выразим 
Тогда уравнение примет вид: 
или 
Следовательно, 
получим 
где a и b — соответственно целая и дробная часть числа 
Поэтому 
Значит, 
то целая часть числа 
равна 12.
где a и b — соответственно целая и дробная часть числа 
таких, что
решений в натуральных числах. ([x] — целая часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее x.)
Тогда 
удовлетворяющих условиям 
может быть не более одного натурального решения n с таким набором остатков. Всего таких наборов ровно 
поэтому и количество решений уравнения 
где x — произвольное положительное действительное число? Здесь [x] обозначает целую часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее x.
где 
— дробная часть x. Тогда легко понять, что 
это будут 0, 1, 3, 4, 6, 7.
где x — произвольное положительное действительное число? Здесь [x] обозначает целую часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее x.
и от 
от 
до 
от 
до 1 равны 0, 1 и 2 соответственно, а значения [5a] на полуоткрытых интервалах от 0 до 
от 
до 
...
до 1 равны 0, 1, ..., 4 соответственно. Отсюда легко получить, что значения суммы 
на восьми полуоткрытых интервалах 
имеет решение. 
и n = 1. Для 
уравнение 
то решение невозможно, так как 
где {a} — дробная часть числа a.
получаем уравнение 
то 
Далее 
Укажите наименьшее и наибольшее их них. Здесь [a] — целая часть числа a— наибольшее целое число не превосходящее a, 
— дробная часть числа a.
и 
Возможны два случая: 
попадает в интервал 
при 
получаем 
и в интервал 
при 
получаем 
Вторая серия 
попадает в интервал 
получаем 
и в интервал 
получаем 
при 
и им соответствуют решения 
при 
и им соответствуют решения 
Найти x, для которых 
на отрезке [0; 1). 
Подставляем 
в (*) для определения {x}: 
где [a] — целая часть числа a, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее a.
И это противоречит первому уравнению. В данном варианте решения отсутствуют. 
a так как 
то из решений первых двух двойных неравенств системы нужно только выбросить точки в которых 
Решения первых двух указанных неравенств определяют первую четверть на тригонометрическом круге (см. рис). Решение уравнения 
имеют вид 
что противоречит второму соотношению системы. Эта система также как и первая решений не имеет. 
при положительных x.
через y. В задаче идет речь про произведение целых частей двух положительных чисел x и y, для которых 
Кроме того, при всех 
число 
принимает все вещественные значения из интервала 
Если одна из целых частей равна 0, то и произведение равно 0. Случай, когда одна из целых частей равна 1, разбирался выше. Следовательно, осталось доказать, что при 
выполнено неравенство 
Ясно, что хотя бы одна из целых частей больше или равна 3 (иначе оба числа x и y меньше 3, что невозможно). Не умаляя общности допустим, что 
Заметим, что 
Аналогично, 
что и требовалось.
справедливо неравенство 
на самом деле, это неравенство верно при всех 
но нам это не требуется). Действительно, для любого 
а 
Следовательно, 
получаем 
поэтому на этом луче решений нет. На полуинтервале 
имеем 
становится строгим). Наконец, любое число из полуинтервала 
является решением. 
где [a] — целая часть числа a — наибольшее целое число не 
Тогда 
Рассматриваются всевозможные наборы действительных чисел
Рассмотрим набор из 1010 чисел −1, и 1011 чисел 
Ясно что при любой расстановке по кругу два положительных окажутся рядом, значит, найдется дуга с суммой 
проверяется непосредственно. Так же заметим, что для расстановки чисел по кругу условие, что сумма на любой дуге по модулю не больше C, эквивалентно условию, что для произвольной позиции на круге множество сумм по всем дугам, имеющим левый конец в этой позиции, умещается на отрезке длины C. Этой переформулировкой мы и будем пользоваться в дальнейшем.
на одно число a − b. Тогда если полученный набор допускает расстановку для некоторого числа C и выполняется 
то исходный допускал расстановку для C.
на числа −b, a если попало −b.
тогда сумма модулей наименьших по модулю положительного и отрицательного чисел может быть слишком большой только если количество положительных и отрицательных чисел отличается на единицу. Без ограничения общности пусть положительных k. Каждое положительное число, кроме самого маленького, объединим в пару с отрицательным. Получили набор из k чисел (оставшееся положительное и k − 1 сумм в парах, суммы в парах по модулю не больше 
оставшееся положительное обозначим x, естественно 
Для этого сначала выберем пару, которая встанет 
−й
а такая найдется из среднего значения. Затем все остальные пары расставить как угодно, чтобы их сумма не выходила из коридора — это возможно, потому что модуль чисел маленький.
значит, и на отрезке 
теперь они лежат на отрезке 
— победа.
Пример, показывающий что для меньшего C не работает — ±3 баллов. 
где a — максимальное из положительных чисел, а b — минимальное (т. е. максимальное по модулю) из отрицательных: 0 баллов.